Teoria da Relatividade: Relatividade Geral

PARTE I


Em Física, a relatividade geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton, publicada em 1915 por Albert Einstein e cuja base matemática foi desenvolvida pelo cientista francês Henri Poincaré. A nova teoria leva em consideração as idéias descobertas na Relatividade restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da relatividade do movimento de referenciais em movimento uniforme para a relatividade do movimento mesmo entre referenciais em movimento acelerado. Esta generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço-tempo, levando, entre outras conclusões, à de que a matéria (energia) curva o espaço e o tempo à sua volta. Isto é, a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

Preliminares conceituais

Uma das descobertas mais importantes do século XX, feita por Einstein, é a de que podemos apresentar as leis da Física na forma de uma geometria quadridimensional, em que o tempo é uma dimensão adicional às três dimensões espaciais a que estamos habituados.

Das idéias que levaram à Relatividade restrita, sem dúvida a mais importante para se entender o papel da gravitação na Física é a idéia, chamada de princípio da relatividade, de que as leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer referencial inercial. Este princípio deve ser obedecido por qualquer lei da Física que venha a ser expressa nesse contexto.

Einstein supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, seria um tipo de força inercial, isto é, do tipo que aparece em sistemas não inerciais (em movimento acelerado), como, por exemplo, a força centrífuga em um carrossel, ou a força que o empurra para trás durante a aceleração de um trem.

Com esta idéia em mente, e generalizando a idéia da Relatividade restrita, Einstein propôs que:

As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema de coordenadas, em movimento uniforme ou não.

É por esta via da covariância sob mudança de coordenadas generalizadas que a gravitação se acopla ao eletromagnetismo e à mecânica clássica, para os quais foi direcionado o desenvolvimento inicial da Relatividade restrita.

Laboratórios em órbita ou em queda livre são o que temos na Terra de mais próximo de um referencial localmente inercial. Portanto, se for necessário realizar um experimento em um local livre de forças externas, há duas opções na Terra: entrar em um avião, subir até algumas dezenas de quilômetros de altura e deixar-se cair em queda livre (dentro de um avião, num vôo parabólico), ou usar qualquer uma estação espacial em órbita.

O Princípio da Relatividade Geral

O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da Equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.

Por esse princípio, uma pessoa numa sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra (9,78m / sao quadrado), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Uma pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o elevador de Einstein.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico) e um em que a Física se assemelha àquela da Relatividade restrita.

Uma conseqüência importante do Princípio da Equivalência é a identificação entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela expressa na segunda lei de Newton, F = m.a , e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento relativo. A massa gravitacional é aquela da lei da gravitação universal de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em proporção, a 10 elevado a -9.

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal conseqüência, a equivalência entre massa gravitacional e inercial.

PARTE II

Geometria do espaço-tempo

A idéia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo estamos sempre em movimento, e a nossa idéia de estar parado significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura abaixo).



Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da Relatividade especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a velocidade da luz. Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso (chamada de tipo tempo), e regiões às quais não podemos ter acesso imediato (chamadas de tipo espaço). Isto é uma característica diferente da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica da geometria.

Curvatura do espaço-tempo

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.



Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por um objecto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.)



Quanto maior for a massa do objecto maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objecto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direcção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direcção ao poço, ela ficará a "orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo.

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da acção da força da gravidade, são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direcção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» actuando à distância. Na relatividade geral, não existe acção à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajectória que segue no espaço-tempo um objecto em queda livre, ou seja, livre da acção de forças externas. Por isso, a trajectória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projecção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objectos tendem a cair em direcção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objecto foi lançado no ar, ele sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo Einstein, o objecto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, excepto a da resistência do ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a nossa trajectória não segue uma «linha recta» (uma geodésica), porque há uma força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do facto de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do facto da superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objecto, ele flutuará a seu lado, exactamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar).

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correcto a curvatura do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.


Retirado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_geral